Jueves 4 de Junio de 2014 - 16:00 hs

Jueves 4 de Junio de 2014 - 16:00 hs (Jornada Doble)

Lugar: Aula 27
Expositor: Martín de Borbón (Imperial College, Inglaterra).
Título:  Blow-up limits of Kähler-Einstein metrics with cone singularities
Resumen:
Si (M,g) es una variedad de Einstein compacta sin borde de dimensión real 4, entonces la energía de M (integral de la norma al cuadrado del tensor de curvatura de Riemann) está dada por la característica de Euler de M. Fijemos la variedad diferenciable M y consideremos ahora una secuencia de métricas de Einstein g_i en M, por simplicidad asumimos que Ric(g_i)= g_i y que el volumen de las métricas es constante. Es una consecuencia de la conservación de energía que |Rm(g_i)| sólo puede acumularse en una cantidad finita de puntos. Más precisamente, existe un espacio métrico compacto (X,d) tal que, tomando una subsucesión si es necesario, (M, g_i) converge en el sentido de Gromov-Hausdorff a (X, d). El espacio X es una variedad diferenciable fuera de un número finito de puntos x_1, ..., x_n. La distancia d es inducida por una métrica de Einstein en el complemento de este conjunto finito. Las singularidades de X en los puntos x_j son de tipo orbifold, i.e, modeladas por el cociente del espacio euclídeo de dimensión 4 por un subgrupo finito de SO(4). Sea p uno de los puntos x_1, .., x_n. Existe una sucesión de puntos p_i de M con límite p tal que si escribimos a_i = |Rm(g_i)|(p_i) , entonces a_i tiende a infinito y los espacios (M, a_i g_i, p_i) convergen en el sentido de pointed Gromov Hausdorff a un espacio (N, h, o). El espacio (N,h) es completo, Ricci flat, asintótico al cociente del espacio euclídeo de dimensión 4 por un subgrupo finito de SO(4). Espacios con estas propiedades son conocidos como ALE (Asintóticamente Localmente Euclideanos). Se dice que (N,h) es un blow-up limit de la secuencia (M, g_i). La teoría expuesta en este párrafo fue desarrollada en gran parte por Anderson en la década de los '90. Los espacios ALE están clasificados (en el caso hyperkähler) gracias al trabajo de Kronheimer a fines de los '80. Consideramos ahora la situación en que M es una superficie compleja y las métricas g_i son Kähler-Einstein con singularidades cónicas a lo largo de curvas complejas suaves C_i contenidas en M. Muchos de los ingredientes presentes en la teoría desarrollada por Anderson son válidos en este contexto (como la conservación de energía por ejemplo) y es de esperar un desarrollo paralelo de los resultados. Una característica nueva está dada por secuencias que involucran la degeneración de las curvas C_i en una curva singular. En la charla voy a enunciar un teorema que establece la existencia de métricas Kähler Ricci-flat con singularidades cónicas a lo largo de una curva compleja en C^2, análogas a las ALE.